Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于两点，直线与曲线相交于两点.

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）当时，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或

【解析】

（Ⅰ）将参数方程消去即可得到普通方程；由，根据极坐标和直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（Ⅱ）联立和射线的极坐标方程可得点极坐标，从而得到；将参数方程代入圆的直角坐标方程，利用的几何意义，结合韦达定理构造关于的方程，解方程求得结果.

（1）将直线的参数方程消去，化为普通方程得：

由得：

整理可得曲线的直角坐标方程为：

（2）由得：

将直线的参数方程代入得：

由得：

设两点对应的参数分别为，则：

解得：或

所求的值为或