Question

已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时，f（x）取得极值-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围；
（3）当x∈[-3，3]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是R上的奇函数可得f（0）=0，求出d，代入并求出导函数，又当x=1时，f（x）取得极值-2得到f（1）=-2，f′（1）=0，联立方程组求得a、b，得到函数的解析式；
（2）利用导数求出函数的极值，根据函数图象特征可得结论；
（3）思路是求出f（x）的最大值，m大于最大值即为恒成立，故利用导数判断函数的增减性可求出f（x）的最大值，从而可得到m的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）是R上的奇函数，得f（0）=0，∴d=0，
∴f（x）=ax³+cx，对函数f（x）求导得f′（x）=3ax²+c，
由题意得：f（1）=-2，f′（1）=0，
∴

a+c=-2 3a+c=0

，解得a=1，c=-3，
∴f（x）=x³-3x；
（2）由（1）知f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当x＜-1或x＞1时，f'（x）＞0，f（x）递增；当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）递减；
∴f（x）在x=-1时取得极大值f（-1）=2，在x=1时取得极小值f（1）=-2，
x＜-1时f（x）＜2，x＞1时f（x）＞-2，
又直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，
∴-2＜b＜2．
（3）由（1）知f'（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得x₁=-1或x₂=1，
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表：

从上表可知，f（x）在区间[-3，3]上的最大值是18．
原命题等价于m大于f（x）在[-3，3]上的最大值，所以m＞18．
故m的取值范围是（18，+∞）．

点评：考查学生利用导数研究函数增减性的能力，利用导数求函数极值的能力，理解不等式恒成立的条件，考查转化思想．