Question

5．若函数f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，②对任意x∈R都有f（x）=f（$\frac{π}{2}$+x）．则函数f（x）的解析式可以是：f（x）=cos4x（只需写出满足条件的一个解析式即可）

Answer 1

分析 题目中条件：“若f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，”说明有f（-x）=f（x）；“②对任意x∈R，都有f（x）=f（$\frac{π}{2}$+x）是周期函数，从三角函数中寻找即得．

解答 解：∵若f（x）具有性质：①f（x）为偶函数，
∴说明有f（-x）=f（x）；
②对任意x∈R，f（x）=f（$\frac{π}{2}$+x）是周期函数．
我们从三角函数中寻找即得：f（x）=cos4x．
故答案为：f（x）=cos4x．

点评 本题主考查抽象函数的周期性、对称性以及偶函数，抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．抽象函数的抽象性赋予它丰富的内涵和多变的思维价值，可以考查类比猜测，合情推理的探究能力和创新精神．