Question

已知

a

=（

3

sinx，1），

b

=（cosx，2）．
（1）若

a

∥

b

，求tan2x的值；
（2）若f（x）=（

a

-

b

）•

b

，求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理、倍角公式即可得出；
（2）利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式可得f（x）=（

a

-

b

）•

b

=

a

•

b

-

b

2=sin(2x-

π

6

)-

5

2

，再利用正弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）

a

∥

b

⇒2

3

sinx-cosx=0，
∴tanx=

3

6

；
∴tan2x=

2tanx

1-tan2x

=

4 3

11

．
（2）f（x）=（

a

-

b

）•

b

=

a

•

b

-

b

2=

3

sinxcosx+2-cos2x-4=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

-2
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

5

2

=sin(2x-

π

6

)-

5

2

，
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z⇒-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
所以f（x）的单调递增区间是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]k∈Z．

点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、数量积运算性质、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．