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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		6
    3
    ，a=
    		5
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）已知动直线x-my+1=0与椭圆C相交于A、B两点．
    ①若点M（-
    7
    3
    ，0），求证：
    MA
    •
    MB
    为定值；
    ②求三角形OAB面积的最大值（O为坐标原点）．
    分析：（1）通过椭圆的离心率以及a，求出b，即可求解椭圆C的方程；
    （2）①点M（-
    7
    3
    ，0），设出A、B两点坐标，将直线方程与椭圆方程联立消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理得x1+x2，利用向量数量积的坐标运算及韦达定理即可求得
    MA
    •
    MB
    为定值．
    ②利用弦长公式求出|y1-y2|以及|0N|，表示出三角形OAB面积利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值．
    解答：解：（1）因为已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		6
    3
    ，a=
    		5
    ．
    所以c=ae=
    		30
    3
    ，所以b=
    		(
    		5
    )2-(
    		30
    3
    )2
    =
    5
    3
    ，
    所以椭圆方程为：
    x2
    5
    +
    3y2
    5
    =1    ．
    （2）①设A（x1，y1）B（x2，y2）由将y=
    1
    m
    （x+1），代入
    x2
    5
    +
    3y2
    5
    =1    中，
    得（1+
    3
    m2
    ）x2+
    6
    m2
    x+
    3
    m2
    -5=0，
    △=
    36
    m4
    -4（
    3
    m2
    +1）（
    3
    m2
    -5）=
    48
    m2
    +20＞0，x1+x2=-
    6
    3+m2
    ，x1x2=
    3-5m2
    3+m2
    ，
    所以
    MA
    •
    MB
    =（x1+
    7
    3
    ，y1）（x2+
    7
    3
    ，y2）=（x1+
    7
    3
    ）（x2+
    7
    3
    ）+y1y2
    =（x1+
    7
    3
    ）（x2+
    7
    3
    ）+
    1
    m2
    （x1+1）（x2+1）
    =（1+
    1
    m2
    ）x1x2+（
    7
    3
    +
    1
    m2
    ）（x1+x2）+
    49
    9
    +
    1
    m2

    =（1+
    1
    m2
    ）
    3-5m2
    3+m2
    +（
    7
    3
    +
    1
    m2
    ）（-
    6
    3+m2
    ）+
    49
    9
    +
    1
    m2
    =
    4
    9
    ；
    ②直线与x轴的交点为N，x-my+1=0，|y1-y2|=
    1
    |m|
    |x1-x2|    ，
    S△AOB=
    1
    2
    |ON||y1-y2|=
    1
    2
    ×1×
    1
    |m|
    •
    		(-
    6
    3+m2
    )2-4×
    3-5m2
    3+m2
    =
    5m2+12
    (3+m2)2
    ，
    令12+5m2=t，则t≥12，m2=
    t-12
    5

    ∴S△AOB=
    t
    (3+
    t-12
    5
    )2
    =
    25
    t+
    3
    t
    +6
    ，
    ∵t≥12，t+
    3
    t
    +6    是增函数，
    ∴当t=12时，S△AOB取得最大值，最大值为
    10
    9
    ．
    点评：本题考查直线与椭圆的位置关系及向量的数量积运算，考查学生的运算变形能力，考查学生分析解决问题的能力．
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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
    1
    2

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程，
    （Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
    PF1
    •
    PA
    的取值范围
    （III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
    AH
    2    =
    MH
    •
    HN
    ，求证：直线l恒过定点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
    （1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
    （2）求k1：k2的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率是
    		3
    2
    ，且经过点M（2，1），直线y=
    1
    2
    x+m(m＜0)    与椭圆相交于A，B两点．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）当m=-1时，求△MAB的面积；
    （3）求△MAB的内心的横坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•威海二模）已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为e=
    		6
    3
    ，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
    2
    		6
    3
    +2    ．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
    ND
    •
    MP
    AB
    2
    为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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