Question

10．已知函数$f（x）=x+\frac{k}{x}$且f（1）=2．
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析 （1）由f（1）=2便可求出k=1，并容易求出函数f（x）的定义域；
（2）可以判断$f（x）=x+\frac{1}{x}$在（1，+∞）上为增函数，根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，通分，提取公因式，从而可证明f（x₁）＞f（x₂），这便可得出f（x）在（1，+∞）上为增函数．

解答 解：（1）f（1）=1+k=2；
∴k=1，$f（x）=x+\frac{1}{x}$，定义域为{x∈R|x≠0}；
（2）为增函数；
证明：设x₁＞x₂＞1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）+（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）$
=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₁-x₂＞0，$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＜1$，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．

点评 考查已知函数求值的方法，函数定义域的概念及求法，增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般需提取公因式x₁-x₂．