Question

15．若$（{{x^2}+m}）{（{x-\frac{1}{x}}）^6}$展开式中含x²的项的系数为$-\frac{25}{2}$，则m的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设$（x-\frac{1}{x}）^{6}$的通项公式T_r+1=${∁}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$．（r=0，1，2，…，6）．可得$（{{x^2}+m}）{（{x-\frac{1}{x}}）^6}$展开式中含x²的项的系数．

解答 解：设$（x-\frac{1}{x}）^{6}$的通项公式T_r+1=${∁}_{6}^{r}{x}^{6-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{6}^{r}{x}^{6-2r}$．（r=0，1，2，…，6）．
∴$（{{x^2}+m}）{（{x-\frac{1}{x}}）^6}$展开式中含x²的项的系数为：$（-1）{∁}_{6}^{3}$×1+m•（-1）²${∁}_{6}^{2}$．
∴$-{∁}_{6}^{3}$+m${∁}_{6}^{2}$=$-\frac{25}{2}$，解得m=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．