Question

17．已知等比数列{a_n}满足：a₁=1，S_n为其前n项和，2S₁，2S₃，5S₂成等差数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a₁|+log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a₂|+…+log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a_n+2|（b_n≠0），求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）{a_n}是等比数列设公比为q，首项a₁=1，由2S₁，2S₃，5S₂成等差数列，4S₃=2S₁+5S₂，整理得4q²-q-3=0，
解得q=1，或q=-$\frac{3}{4}$，根据等比数列的通项公式写出其通项公式，
（2）由b_n=根据对数函数的性质写出{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的通项公式，b_n=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，采用裂项法，$\frac{1}{{b}_{n}}$=2（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），求得T_n=$\frac{n}{n+2}$．

解答 解：（1）等比数列{a_n}首项a₁=1，设公比为q，
其通项公式a_n=a₁q^n-1=q^n-1，
2S₁，2S₃，5S₂成等差数列，4S₃=2S₁+5S₂，
4（1+q+q²）=2+5（1+q），
整理得：4q²-q-3=0，
解得q=1或q=-$\frac{3}{4}$，
∴a_n=1或a_n=$（-\frac{3}{4}）^{n-1}$；
（2）b_n=log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a₁|+log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a₂|+…+log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a_n+2|（b_n≠0），
当a_n=1，b_n=0不满足（b_n≠0），
当a_n=$（-\frac{3}{4}）^{n-1}$，
b_n=log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a₁|+log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a₂|+…+log${\;}_{\frac{3}{4}}$|a_n+2|，
=0+1+2+3+…+n+n+1，
=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$，
$\frac{1}{{b}_{n}}$=2（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），
T_n=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$，
=2[（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）]，
=$\frac{n}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{n}{n+2}$．

点评 本题考查求等比数列的通项公式及采用裂项法求数列的前n项和，过程简单，属于中档题．