Question

记函数fn(x)＝a·xn－1(a∈R，n∈N*)的导函数为f′n(x)，已知f′3(2)＝12.

(1)求a的值；

(2)设函数gn(x)＝fn(x)－n2ln x，试问：是否存在正整数n使得函数gn(x)有且只有一个零点？若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由；

(3)若实数x0和m(m>0且m≠1)满足＝，试比较x0与m的大小，并加以证明．

 

Answer 1

（1）a＝1 （2）存在n＝1，使得函数gn(x)有且只有一个零点．

（3）见解析

【解析】【解析】
(1)f3′(x)＝3ax2，由f3′(2)＝12得a＝1.

(2)gn(x)＝xn－n2ln x－1，

g′n(x)＝nxn－1－＝.

因为x>0，令gn′(x)＝0得x＝，

当x>时，gn′(x)>0，gn(x)是增函数；

当0<x<时，gn′(x)<0，gn(x)是减函数．

所以当x＝时，gn(x)有极小值，也是最小值，

gn()＝n－nln n－1.

当x→0时，gn(x)→＋∞；

当x→＋∞时，gn(x)→＋∞.

当n≥3时，gn()＝n(1－ln n)－1<0，函数gn(x)有两个零点；

当n＝2时，gn()＝－2ln 2＋1<0，函数gn(x)有两个零点；

当n＝1时，gn()＝0，函数gn(x)有且只有一个零点．

综上所述，存在n＝1，使得函数gn(x)有且只有一个零点．

(3)fn′(x)＝n·xn－1.

因为＝，

所以＝，

解得x0＝.

则x0－m＝，

当m>1时，(n＋1)(mn－1)>0.

设h(x)＝－xn＋1＋x(n＋1)－n(x≥1)，则h′(x)＝－(n＋1)xn＋n＋1＝－(n＋1)·(xn－1)≤0，当且仅当x＝1时取等号，

所以h(x)在[1，＋∞)上是减函数．

又m>1，所以h(m)<h(1)＝0，

所以x0－m<0，所以x0<m.

当0<m<1时，(n＋1)(mn－1)<0.

设h(x)＝－xn＋1＋x(n＋1)－n(0<x≤1)，

则h′(x)＝－(n＋1)xn＋n＋1＝－(n＋1)·(xn－1)≥0，当且仅当x＝1时取等号，所以h(x)在(0,1]上是增函数．

又因为0<m<1，所以h(m)<h(1)＝0，

所以x0－m>0，所以x0>m.

综上所述，当m>1时，x0<m，当0<m<1时，x0>m.