Question

已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f(x)≤|f(

π

6

)|对x∈R恒成立且f(

π

2

)＜f(π)，则下列结论正确的是（　　）

• A、f(

  11π

  12

  )=-1
• B、f(

  7π

  10

  )＞f(

  π

  5

  )
• C、f（x）是奇函数
• D、[0，

  π

  6

  ]是f（x）的单调递增区间

Answer 1

考点：正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用正弦函数的对称性与单调性，可求得φ=2kπ+

π

6

（k∈Z），于是得到f（x）=sin（2x+

π

6

），再对A、B、C、D四个选项逐一分析判断即可．

解答： 解：∵f（x）=sin（2x+φ），f(x)≤|f(

π

6

)|对x∈R恒成立，
∴x=

π

6

为函数f（x）的一条对称轴，
∴2×

π

6

+φ=kπ+

π

2

（k∈Z）；
∴φ=kπ+

π

6

（k∈Z）；
又f(

π

2

)＜f(π)，∴sin（π+φ）＜sin（2π+φ），∴sinφ＞0，
∴φ=2kπ+

π

6

（k∈Z），
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）；
对于A，∵f（

11π

12

）=sin（

11π

6

+

π

6

）=0，故A错误；
对于B，f（

7π

10

）=sin（

7π

5

+

π

6

）=-sin（

2π

5

+

π

6

）＜sin（

2π

5

+

π

6

）=f（

π

5

），故B错误；
对于C，f（0）=sin

π

6

=

1

2

≠0，故f（x）不是奇函数，故C错误；
对于D，当x∈[0，

π

6

]时，（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

π

2

]，f（x）=sin（2x+

π

6

）为增函数，故D正确．
故选：D．

点评：本题考查正弦函数的图象与性质，着重考查正弦函数的对称性、奇偶性与单调性的综合判断，考查分析、运算能力，属于中档题．