Question

已知函数f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

为偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并证明你的判断．
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得当x∈[

1

m

，

1

n

]（m＞0，n＞0）时，函数f（x）的值域为[2-λm，2-λn]，若存在，求出λ的取值范围，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可求实数a的值；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可证明f（x）的单调性．
（Ⅲ）根据函数的单调性将条件关系转化为一元二次方程根的取值范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

(x+1)(x+a)

x2

=

x2+(a+1)x+a

x2

为偶函数，
∴f（-x）=

x2-(a+1)x+a

x2

=

x2+(a+1)x+a

x2

，
即-（a+1）=a+1，
解得a=-1．
（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=

x2-1

x2

=1-

1

x2

，
则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，0）为减函数．
证明：设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

1

x22

-

1

x12

=

x12-x22

x12x22

=

(x1-x2)(x1+x2)

x12x22

．
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁+x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
故函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
同理可证在（-∞，0）为减函数．
（Ⅲ）∵函数f（x）在（0，+∞）上为增函数
∴若存在实数λ，使得当x∈[

1

m

，

1

n

]（m＞0，n＞0）时，函数f（x）的值域为[2-λm，2-λn]，
则满足

f( 1 m )=1-m2=2-λm f( 1 n )=1-n2=2-λn

，
即

m2-λm+1=0 n2-λn+1=0

，
即m，n是方程x²-λx+1=0的两个不等的正根．
则满足

△=λ2-4＞0 m+n=λ＞0 mn=1＞0

，
即

λ＞2或λ＜-2 λ＞0

，解得λ＞2，
故存在λ＞2，使得结论成立．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及一元二次方程根与系数之间的关系，综合考查函数的性质．