Question

已知数列{a_n}中，a₁=a（0＜a≤1），an+1=

1- 1 an ，an＞1 an+ 1 2 ，an≤1

则使对于任意的n∈N^*，a_n+3=a_n成立的a有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由题设条件，先求出a₂，再由0＜a≤

1

2

和

1

2

＜a≤1两种情况分别求出a₃，再由a₃的取值情况，求出a₄，由此能求出a_n+3=a_n成立的a的值．

解答： 解：∵a₁=a（0＜a≤1），an+1=

1- 1 an ，an＞1 an+ 1 2 ，an≤1

，
∴a2=a+

1

2

，
①当0＜a≤

1

2

时，0＜a+

1

2

≤1，
∴a3=a+

1

2

+

1

2

=a+1＞0，
∴a₄=1-a-1=-a，
由a₄=a₁，得-a=a，不成立；
②当

1

2

＜a≤1时，a+

1

2

＞1，
∴a₃=1-a-

1

2

=

1

2

-a≤1，
∴a4=

1

2

-a+

1

2

=1-a，
由a₄=a₁，得1-a=a，解得a=

1

2

．
∴使对于任意的n∈N^*，a_n+3=a_n成立的a有1个．
故选：B．

点评：本题考查数列的递推公式的应用，解题时要注意分类讨论思想和递推思想的合理运用，是中档题．