Question

已知函数f（x）=sin（3x+

π

4

）．若α是第二象限的角，f（

α

3

）=

4

5

cos（α+

π

4

）cos2α，求cosα-sinα的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：依题意知f（

α

3

）=sin（α+

π

4

）=

4

5

cos（α+

π

4

）×2cos（α+

π

4

）sin（α+

π

4

），整理可得cos2(α+

π

4

)=

5

8

；①，进一步分析可知cosα-sinα=

2

cos（α+

π

4

）＜0，②二者联立即可求得cosα-sinα的值．

解答： 解：∵f（x）=sin（3x+

π

4

），
∴f（

α

3

）=sin（α+

π

4

），又f（

α

3

）=

4

5

cos（α+

π

4

）cos2α=

4

5

cos（α+

π

4

）sin（2α+

π

2

），
∴

4

5

cos（α+

π

4

）×2cos（α+

π

4

）sin（α+

π

4

）=sin（α+

π

4

），
依题意知sin（α+

π

4

）≠0，
∴cos2(α+

π

4

)=

5

8

；①
∵α是第二象限的角，
∴cosα＜0，sinα＞0，
∴cosα-sinα=

2

cos（α+

π

4

）＜0，②
由①②得：cos（α+

π

4

）=-

10

4

，
∴cosα-sinα=

2

×（-

10

4

）=-

5

2

．

点评：本题考查二倍角的正弦，求得cos2(α+

π

4

)=

5

8

与cosα-sinα=

2

cos（α+

π

4

）＜0是关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．