Question

5．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点K（0，$\sqrt{2}$），离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）在椭圆C内，椭圆C上两点A，B满足$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线AB的斜率；
（3）直线OM与椭圆C交于R，S两点，分别过A，B作椭圆C的切线l₁，l₂，直线l₁，l₂交于点P．求证：O，M，P三点共线且S_△AOR•S_△BOS=S_△AOM•S_△BOP．

Answer 1

分析 （1）由题意，b=$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出a，b可得椭圆C的方程；
（2）利用点差法，即可求直线AB的斜率；
（3）求出P的坐标，证明k_OM=k_OP=1，即可证明O，M，P三点共线；要证S_△AOR•S_△BOS=S_△AOM•S_△BOP，只要证|OR|•|OS|=|OM|•|OP|．

解答 （1）解：由题意，b=$\sqrt{2}$，又e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
得a²=2b²=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，知M为A，B的中点，
由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}=1$，两式作差可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}=-\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$-\frac{1}{2}$，
∴直线AB的斜率k=$-\frac{1}{2}$；
（3）证明：直线AB的方程为y=-$\frac{1}{2}$x+1，∴B（2，0），A（-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），
过B的切线方程为x=2，
由$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，可得y=$\sqrt{2-\frac{{x}^{2}}{2}}$，y′=-$\frac{x}{2\sqrt{2-\frac{{x}^{2}}{2}}}$，x=-$\frac{2}{3}$，y′=$\frac{1}{4}$，
∴过A的切线方程为y-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{4}$（x+$\frac{2}{3}$），即y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
x=2时，y=2，即P（2，2）．∴k_OP=1
∵M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴k_OM=1，
∴k_OM=k_OP=1，
∴O，M，P三点共线．
要证S_△AOR•S_△BOS=S_△AOM•S_△BOP，只要证|OR|•|OS|=|OM|•|OP|．
直线OM的方程y=x与椭圆方程联立可得R（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），S（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），∴|OR|•|OS|=|$\frac{8}{3}$，
∵|OM|•|OP|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}•2\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$，
∴|OR|•|OS|=|OM|•|OP|，
∴S_△AOR•S_△BOS=S_△AOM•S_△BOP．

点评 本题考查了椭圆方程，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．