Question

已知， ，，其中e是无理数且e=2.71828…，.

（1）若a=1，求的单调区间与极值；

（2）求证：在（1）的条件下，；

（3）是否存在实数a，使的最小值是-1？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）当a=1时，，，         

令，得x=1.

当时，，此时单调递减；                       

当时，，此时单调递增.                         

所以的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，e），的极小值为.

                                                                     

（2）由（1）知在上的最小值为1.                         

令，，所以.            

当时，，在上单调递增，                     

所以.

故在（1）的条件下，.                                  

（3）假设存在实数a，使（）有最小值-1.

因为，                                      

①当时，，在上单调递增，此时无最小值；  

②当时，当时，，故在（0，a）单调递减；当时，，故在（a，e）单调递增；                             

所以，得，满足条件；           

③当时，因为，所以，故在上单调递减.

，得（舍去）；                

综上，存在实数，使得在上的最小值为-1.