Question

7．已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为正方形，AA₁=2AB，E为AA₁的中点，则异面直线BE与CD₁所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$
• B． $\frac{1}{5}$
• C． $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与CD₁所成角的余弦值．

解答 解：∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为正方形，AA₁=2AB，E为AA₁的中点，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=1，则B（1，1，0），E（1，0，1），C（0，1，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-1，2），
设异面直线BE与CD₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{C{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∴异面直线BE与CD₁所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．