Question

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（a+b，sinA-sinC），且$\overrightarrow{n}$=（c，sinA-sinB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=8，求AC边上中线长的最小值．

Answer 1

分析 （I）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得c（sinA-sinC）-（a+b）（sinA-sinB）=0，再利用正弦定理余弦定理即可得出．
（2）设AC边上的中点为E，由余弦定理得：（2BE）²=c²+a²-2cacos120°=（a+c）²-ac=64-ac，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）∵向量$\overrightarrow{m}$=（a+b，sinA-sinC），且$\overrightarrow{n}$=（c，sinA-sinB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
∴c（sinA-sinC）-（a+b）（sinA-sinB）=0，
由正弦定理可得：c（a-c）-（a+b）（a-b）=0，化为a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）设AC边上的中点为E，由余弦定理得：（2BE）²=c²+a²-2cacos120°=（a+c）²-ac=64-ac≥64-$（\frac{a+c}{2}）^{2}$=48，当a=c时取到”=”．
∴$BE≥2\sqrt{3}$．
∴AC边上中线长的最小值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．