Question

12．已知函数f（x）=x³-3x，若对于区间[-3，2]上任意的x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤t，则实数t的最小值是（　　）

• A． 0
• B． 10
• C． 18
• D． 20

Answer 1

分析 求导数f′（x）=3（x²-1），根据导数在[-3，2]上的符号情况便可求出f（x）在[-3，2]上的最大、最小值，从而求出|f（x₁）-f（x₂）|的最大值，这样便可得出t的最小值．

解答 解：f′（x）=3（x²-1）；
∴x∈[-3，-1）时，f′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，2]时，f′（x）＞0；
∴x=-1时，f（x）有极大值2，x=1时，f（x）有极小值-2，且f（-3）=-18，f（2）=2；
∴f（x）的最小值为-18，最大值为2；
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤20；
∴t≥20；
∴t的最小值是20．
故选D．

点评 考查根据函数导数符号求函数极值的方法和过程，以及进而求出函数在闭区间上的最大、最小值的方法，清楚函数极值和最值的概念．