Question

4．已知圆E：x²-λx+y²-9=0上任意一点关于直线y=x-1的对称点仍在圆上．
（1）求λ的值和圆E的标准方程；
（2）若圆E与y轴正半轴的交点为A，直线与圆E交于B，C两点，且点H（3，0）是△ABC的垂心（垂心是三角形三条高线的交点），求直线的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意圆心（$\frac{λ}{2}$，0）在直线y=x-1上，由此能求出λ及圆E的标准方程．
（2）由题意设直线l的方程为y=x+m，由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+{y}^{2}=10}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，得2x²+2（m-1）x+m²-9=0，由此利用韦达定理、向量的数量积能求出所求直线的方程．

解答 解：（1）∵圆E：x²-λx+y²-9=0上任意一点关于直线y=x-1的对称点仍在圆上，
∴圆心（$\frac{λ}{2}$，0）在直线y=x-1上，
∴$\frac{λ}{2}$-1=0，解得λ=2，
∴圆E：x²-2x+y²-9=0的标准方程为（x-1）²+y²=10．
（2）由题意得A（0，3），H（3，0），k_AH=$\frac{3}{-3}$=-1，
∴直线l的斜率k=1，设直线l的方程为y=x+m，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+{y}^{2}=10}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，得2x²+2（m-1）x+m²-9=0，
∴x₁+x₂=1-m，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-9}{2}$，
又$\overrightarrow{HB}$•$\overrightarrow{AC}$=（${{x}_{1}}^{\;}$-3，y₁）•（x₂，y₂-3）=（x₁-3）x₂+y₁（y₂-3）
=（x₁-3）x₂+（x₁+m）（x₂+m-3）
=$2{x}_{1}{x}_{2}+（m-3）（{{x}_{1}+{x}_{2}）+m（m-3）=0}_{\;}^{\;}$，
代入，得m²+m-12=0，
解得m=-4或m=3，
当m=3时，直线y=x+3过A点，不合题意，
当m=-4时，直线y=x-4，满足题意，
∴所求直线的方程为x-y-4=0．

点评 本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、韦达定理，向量数量积等知识点的合理运用．