Question

7．过圆C：（x-1）²+（y-1）²=1的圆心，作直线分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形的面积满足S₁+S₄=S₂+S₃，则直线AB有（　　）

• A． 1条
• B． 2条
• C． 3条
• D． 0条

Answer 1

分析 设∠BAO=x，则x的范围可知，设f（x）=（S₁+S₄）-（S₂+S₃），根据图象可知那么x在增大的时候，f（x）递减；x接近0时f（x）＞0；x接近$\frac{π}{2}$时f（x）＜0，只有f（x）=0即S₁+S₄=S₂+S₃，进而可推断出在（0，$\frac{π}{2}$）上只有一个x使之成立，

解答 解：设∠BAO=x，则x∈（0，$\frac{π}{2}$），设f（x）=（S₁+S₄）-（S₂+S₃），
那么x在增大的时候（即直线AB顺时针旋转的过程中），
S₁+S₄递减，S₂+S₃递增，所以f（x）递减；
又x接近0时，S₁+S₄＞S₂+S₃，所以f（x）＞0；
x接近$\frac{π}{2}$时，S₁+S₄＜S₂+S₃，所以f（x）＜0，
所以f（x）=0即S₁+S₄=S₂+S₃，在（0，$\frac{π}{2}$）上只有一个x使之成立，
所以符合题意的直线AB有且只有一条
故选：A．

点评 本题主要考查了直线与圆相交的性质，考查了函数思想、数形结合思想的运用，考查了分析及推理能力，是中档题．