Question

下列命题：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②任取x＞0，均有（

1

2

）^x＞（

1

3

）^x；
③在同一坐标系中，y=log₂x与y=log

1

2

x的图象关于x轴对称；
④A=R，B=R，f：x→y=

1

x+1

，则f为A到B的映射；
⑤y=

1

x

在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①可举偶函数y=x^-2，通过图象即可判断；②由幂函数y=xⁿ，n＞0时，在（0，+∞）上递增，即可判断；
③通过换底公式得到y=log

1

2

x=-log₂x，由图象对称即可判断；④考虑A中的-1，对照映射的定义即可判断；
⑤可举反例：x₁=-1，x₂=1，则y₁=-1，y₂=1．即可判断．

解答： 解：①可举偶函数y=x^-2，则它的图象与与y轴不相交，故①错；
②由幂函数y=xⁿ，n＞0时，在（0，+∞）上递增，则任取x＞0，均有（

1

2

）^x＞（

1

3

）^x，故②对；
③由于y=log

1

2

x=-log₂x，则在同一坐标系中，y=log₂x与y=log

1

2

x的图象关于x轴对称，故③对；
④A=R，B=R，f：x→y=

1

x+1

，则A中的-1，B中无元素对应，故f不为A到B的映射，故④错；
⑤可举x₁=-1，x₂=1，则y₁=-1，y₂=1．不满足减函数的性质，故y=

1

x

在（-∞，0）∪（0，+∞）上不是减函数
故⑤错．
故答案为：②③

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查函数的奇偶性及图象，函数的单调性和应用，以及映射的概念，属于基础题．