Question

9．已知双曲线经过点M（$\sqrt{6}，\sqrt{6}$）．
（1）如果此双曲线的渐近线为$y=±\sqrt{2}x$，求双曲线的标准方程；
（2）如果此双曲线的离心率e=2，求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）由双曲线的渐近线方程设出双曲线的方程是，把已知点代入双曲线的方程可得k值，则双曲线的标准方程可求；
（2）由双曲线的离心率e=2，得到a与b的关系，分类设出双曲线方程，代入点的坐标求解．

解答 解：（1）∵双曲线的近线为y=$\sqrt{2}$x，
∴设双曲线方程为${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=k$，
∵点M（$\sqrt{6}，\sqrt{6}$）在双曲线上，
∴$6-\frac{6}{2}=k$，得k=3．
∴双曲线的标准方程为$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$；
（2）∵$e=\frac{c}{a}=2⇒c=2a$，又∵c²=a²+b²，∴$b=\sqrt{3}a$．
①当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线标准方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{3{a^2}}}=1$，
∵点M（$\sqrt{6}，\sqrt{6}$）在双曲线上，∴$\frac{6}{a^2}-\frac{6}{{3{a^2}}}=1$，
解得a²=4，b²=12，
则所求双曲线标准方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$．
②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线标准方程为$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{{3{a^2}}}=1$，
∵点M（$\sqrt{6}，\sqrt{6}$）在双曲线上，∴$\frac{6}{a^2}-\frac{6}{{3{a^2}}}=1$，
解得a²=4，b²=12，
则所求双曲线标准方程为 $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{12}=1$．
故所求双曲线方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$或 $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{12}=1$．

点评 本题考查了双曲线的标准方程，注意给出渐近线方程的双曲线方程的设法，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．