Question

如图，在四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，
．

（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）若直线AA₁与平面AB₁C所成角的正弦值为，求k的值.

Answer 1

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1

解析试题分析：（Ⅰ）取CD的中点为E，连结BE，则ADEB为平行四边形，所以ADBE=4k，所以BC²=BE²+EC²，所以BE⊥DC，所以AD与BC垂直，AA₁⊥面ABCD，所以AA₁⊥CD，所以CD垂直面AA₁D₁D；（Ⅱ）以D为原点，DA，DC，DD₁为轴，建立空间直角坐标系，写出A、A₁，B₁，C的坐标，求出面AB₁C的一个法向量，算出向量坐标，计算出这两个向量的夹角，再利用向量夹角与线面角关系，列出关于k的方程，若能解出k值..
试题解析：（Ⅰ）取CD的中点E，连结BE.
∵AB∥DE，ABDE3k，∴四边形ABED为平行四边形，     2分
∴BE∥AD且BEAD4k.
在△BCE中，∵BE4k，CE3k，BC5k，∴BE²＋CE²BC²，
∴∠BEC90°，即BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD.                                              4分
∵AA₁⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴AA₁⊥CD．又AA₁∩ADA，
ADD₁A₁.                                  6分
（Ⅱ）以D为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则
所以，，．
设平面AB₁C的法向量n(x，y，z)，
则由得
取y2，得.  9分
设AA₁与平面AB₁C所成角为θ，则
sin θ|cos〈，n〉|，
解得k1，故所求k的值为1.         12分
考点：面面垂直的性质，线面垂直的判定，线面角的计算，推理论证能力，运算求解能力，空间想象能力