Question

给出下列四个命题：
①若直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A、B两点，则|AB|的最小值为2；
②命题：“?x∈R，sinx+cosx=

2

”的否定为真命题；
③已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ²），若P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=0.16；
④若函数y=f（x）在区间（1，3）满足f（1）•f（3）＜0，则y=f（x）在区间（1，3）必有零点；
其中正确命题的序号是

 

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：直接由过抛物线的焦点弦通径最短判断①；
存在x值使sinx+cosx=

2

，原命题为真，则其否定为假判断②；
直接通过求P（ξ≤0）的值判断③；
由函数零点存在性定理判断④．

解答： 解：对于①，∵直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为抛物线的通径2p，由抛物线y=2x²，得x²=

1

2

y，知p=

1

4

，2p=

1

2

，则|AB|的最小值为

1

2

，故①不正确；
对于②，∵sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，当x=

π

4

+2kπ，k∈Z时，sinx+cosx=

2

．
∴命题：“?x∈R，sinx+cosx=

2

”为真命题，则其否定为假命题．故②不正确；
对于③，随机变量ξ服从正态分布N（2，σ²），若P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=P（ξ＞4）=0.16．
故③正确；
对于④，若函数数y=f（x）在区间（1，3）上不连续，则在满足f（1）•f（3）＜0时函数y=f（x）
在区间（1，3）不一定有零点，故④不正确．
∴正确命题的序号是③．
故答案为：③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了学生对基本概念、基本定理的理解与掌握，是中低档题．