Question

如图，在正三棱柱中， 是的沿长线上一点，过三点的平面交于，交于 
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）当平面平面时，求的值.

Answer 1

（Ⅰ）因为∥，在平面外，所以∥平面；……2分
是平面与平面的交线，所以∥，故∥；…………4分
而在平面外，所以∥平面……6分
注：不写“在平面外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分.
（Ⅱ）解法一：取中点、中点则由∥知

在同一平面上，并且由知而与（Ⅰ）同理可证平行于平面与平面的交线，因此，也垂直于该交线，但平面平面，所以平面，…………8分
于是，∽
…………10分
即…………12分
注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理.
（Ⅱ）解法二：如图，取中点、中点. 以为原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.
则在平面中,，向量
设平面的法向量，则由即
得………8分
在平面中,，向量
设平面的法向量，由
得…10分
平面平面，，即………12分
注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分

略