Question

12．如图，平面ABCD⊥平面BCF，四边形ABCD是菱形，∠BCF=90°．
（1）求证：BF=DF；
（2）若∠BCD=60°，且直线DF与平面BCF所成角为45°，求二面角B-AF-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，设AC∩BD=O，连接OF，由线面垂直的判定和性质BD⊥平面BCF，得到BD⊥OF，再由BO=DO，即可得到BF=DF；
（2）法一、过点D作DG⊥BC于点G，连接GF，设BC=2，求得$DG=\sqrt{3}$，过点G在BCF内作CF的平行线GH，则GH⊥平面ABCD，以点G为原点，分别以GH，GC，GD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由题意请求出所用点的坐标，进一步求得平面ABF与平面AFC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B-AF-C的余弦值；
法二、过点O作OE⊥AF于点E，连接BE，由平面ABCD⊥平面ACF，AC⊥BD，可得BD⊥平面ACF，得到BD⊥AF，有BE⊥AF，即∠BEO是二面角B-AF-C的平面角，
过点D作DG⊥BC于点G，连接GF，由DG⊥平面BCF，知直线DF与平面BCF所成角为∠DFG=45°，不妨设BC=2，然后求解三角形得二面角B-AF-C的余弦值．

解答 （1）证明：连接AC，设AC∩BD=O，连接OF，
∵平面ABCD⊥平面BCF，且交线为BC，
又∵∠BCF=90°，∴CF⊥平面ABCD，
∵CF?平面BCF，∴平面BCF⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，则BD⊥平面BCF，
∴BD⊥OF，
又BO=DO，∴BF=DF；
（2）解：法一、过点D作DG⊥BC于点G，连接GF，
∵平面ABCD⊥平面BCF，即直线DF与平面BCF所成角为∠DFG=45°，不妨设BC=2，则$DG=\sqrt{3}$，
过点G在BCF内作CF的平行线GH，则GH⊥平面ABCD，
以点G为原点，分别以GH，GC，GD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵∠DFG=45°，∴$GF=\sqrt{3}，CF=\sqrt{2}$，
则$A（0，-2，\sqrt{3}），B（0，-1，0），C（0，1，0），F（\sqrt{2}，0，0）$，
∴$\overrightarrow{AF}=（\sqrt{2}，3，-\sqrt{3}），\overrightarrow{BF}=（\sqrt{2}，2，0），\overrightarrow{CF}=（\sqrt{2}，0，0）$，
设平面ABF的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{FA}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{FB}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x+3y-\sqrt{3}z=0\\ \sqrt{2}x+2y=0\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow m=（\sqrt{2}，-1，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，
同理可得平面AFC的法向量为$\overrightarrow n=（0，1，\sqrt{3}）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m||\overrightarrow n|}=\frac{-2}{{\sqrt{2+1+\frac{1}{3}}×2}}=-\frac{{\sqrt{30}}}{10}$，
由图可知二面角B-AF-C是锐角，
∴其余弦值为$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$；
法二、过点O作OE⊥AF于点E，连接BE，
∵平面ABCD⊥平面ACF，又AC⊥BD，∴BD⊥平面ACF，
∴BD⊥AF，即AF⊥平面BOE，
∴BE⊥AF，即∠BEO是二面角B-AF-C的平面角，
过点D作DG⊥BC于点G，连接GF，
∴DG⊥平面BCF，即直线DF与平面BCF所成角为∠DFG=45°，
不妨设BC=2，则$DG=GF=\sqrt{3}，CF=\sqrt{2}，AF=\sqrt{14}$，
∵△AEO∽△AFC，∴$OE=\sqrt{\frac{3}{7}}$，
又OB=1，∴$BE=\sqrt{\frac{10}{7}}$，
∴$cos∠BEO=\frac{OE}{BE}=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$，
∴二面角B-AF-C的余弦值为$\frac{{\sqrt{30}}}{10}$．

点评 本题考查线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．