Question

12．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点与它的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y=0与以椭圆C的右顶点为圆心，以2b为半径的圆相交所得的弦长为2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过椭圆C右焦点F₂的直线l与椭圆交于点P、Q，若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）求出圆的方程，利用垂径定理和a，b，c的关系列出方程组解出a，b；
（II）讨论直线l的斜率，根据根与系数的关系和$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0解出直线l的斜率k．

解答 解：（Ⅰ）以椭圆C的右顶点（a，0）为圆心，以2b为半径的圆的方程为（x-a）²+y²=4b²，
∴圆心（a，0）到直线x+y=0的距离d=$\frac{a}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{{a}^{2}}{2}$+（$\frac{2\sqrt{3}}{2}$）²=4b²．
∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点与它的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，
∴b=c．
又a²=b²+c²，
∴a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴椭椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（Ⅱ）椭圆右焦点F₂（1，0），
（1）若直线l与x轴垂直，则直线l的方程为x=1，∴P（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），Q（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
此时∠POQ＜90°，以OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．
（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=$\frac{-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=x₁x₂+y₁y₂=0．
即$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
解得k²=2，∴k=$±\sqrt{2}$．
∴直线l的方程为y=$±\sqrt{2}$（x-1）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，根与系数的关系应用，属于中档题．