Question

17．已知函数f（x）=（x-2）lnx+2x-3，x≥1．
（1）试判断函数f（x）的零点个数；
（2）若函数g（x）=（x-a）lnx+$\frac{a（x-1）}{x}$在[1，+∞）上为增函数，求整数a的最大值．（可能要用的数据：ln1.59≈0.46；ln1.60≈0.47；$\frac{400}{41}$≈9.76）

Answer 1

分析 （1）求导，由f′（x）＞0则[1，+∞）恒成立，则f（x）在[1，+∞）为增函数，由f（1）=-1＜0，f（2）=1＞0，函数f（x）在[1，+∞）上有唯一的零点；
（2）求导，分离参数，则a≤$\frac{{x}^{2}（lnx+1）}{x-1}$在[1，+∞）上恒成立，构造辅助函数，求导，由（1）可知，a小于h（x）的x在区间（1，+∞）上的最小值，根据函数的单调性，求得函数的h（x）的最小值的取值范围，即可取得整数a的最大值．

解答 解：（1）由f（x）=（x-2）lnx+2x-3，x≥1，求导f′（x）=lnx-$\frac{2}{x}$+3，（x≥1），
则f′（x）＞0恒成立，
则函数f（x）在[1，+∞）为增函数，
由f′（x）≥f′（1）=1，
故f（x）=（x-2）lnx+2x-3在[1，+∞）为增函数，
又由f（1）=-1＜0，f（2）=1＞0，
∴函数f（x）在[1，+∞）上有唯一的零点；
（2）g（x）=（x-a）lnx+$\frac{a（x-1）}{x}$，g′（x）=lnx+1-$\frac{a}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$，在[1，+∞）上恒成立，
由x=1，显然成立，则a≤$\frac{{x}^{2}（lnx+1）}{x-1}$在[1，+∞）上恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}（lnx+1）}{x-1}$，x∈（1，+∞），
则a小于h（x）的x在区间（1，+∞）上的最小值，
求导h′（x）=$\frac{x[（x-2）lnx+2x-3]}{（x-1）^{2}}$，
由（1）可知f（x）=（x-2）lnx+2x-3在[1，+∞）为增函数，
故f（x）在[1，+∞）上由唯一的零点m，
由f（1.60）=0.012，f（1.59）=-0.0086＜0，
则m∈（1.59，1.60），f（m）=（m-2）lnm+2m-3=0，则lnm=$\frac{2m-3}{2-m}$，
由当x∈（1，m），h′（x）＜0，h（x）在（1，m]为减函数，
x∈（m，+∞），h′（x）＞0，h（x）在[m，+∞）为增函数，
故当x=m，h（x）有最小值h（m）=$\frac{{m}^{2}（lnm+1）}{m-1}$=$\frac{{m}^{2}}{2-m}$，
令2-m=t∈（0.4，0.41），则h（x）最小值有，$\frac{{m}^{2}}{2-m}$=$\frac{（2-t）^{2}}{t}$=t+$\frac{4}{t}$-4∈（$\frac{41}{100}$+$\frac{236}{41}$，$\frac{32}{5}$）
$\frac{41}{100}$+$\frac{236}{41}$≈6.17，
∴h（x）的最小值大约在6.17～6.4之间，
故整数a的最大值为6．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查函数零点的判断，考查转化思想及构造法的应用，属于中档题．