Question

9．设△ABC的面积为S₁，它的外接圆面积为S₂，若△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值为（　　）

• A． $\frac{25}{12π}$
• B． $\frac{25}{24π}$
• C． $\frac{3+\sqrt{3}}{2π}$
• D． $\frac{3+\sqrt{3}}{4π}$

Answer 1

分析 根据△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，可得A=45°，B=60°，C=75°，△ABC的面积为S₁=$\frac{1}{2}$acsinB，外接圆面积为S₂=πR²．利用正弦定理把a与R的关系建立等式，可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值．

解答 解：在△ABC中，∵△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，
∴A=45°，B=60°，C=75°，
那么△ABC的面积为S₁=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$a²$\frac{sinCsinB}{sinA}$=$\frac{1}{2}$$\frac{sin75°sin60°}{sin45°}$a²
外接圆面积为S₂=πR²，R=$\frac{a}{2sinA}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}acsinB}{π{R}^{2}}=\frac{3+\sqrt{3}}{4π}$．
故选D．

点评 本题主要考查了正弦定理的运用和计算能力．属于基础题．