Question

14．设椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，E上一点P到右焦点距离的最小值为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点（0，2）的直线交椭圆E于不同的两点A，B，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a-c=1，解出a，c及b的值即可；
（2）先讨论当k不存在时，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值，当当k存在时，可设直线方程为y=kx+2，联立方程组，由△＞0求出k的范围，由根与系数关系用k表示x₁+x₂，x₁x₂，由向量的坐标运算用k表示$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$，即可求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的取值范围．

解答 解：（1）由题意得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即a=2c，且a-c=1，
∴a=2，c=1，
故b²=a²-c²=3，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）①当k不存在时，$A（0，-\sqrt{3}）$，$B（0，\sqrt{3}）$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=（0，-\sqrt{3}）•（0，\sqrt{3}）=-3$；
②当k存在时，设直线方程为y=kx+2，则有$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$，（i）
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（k{x_1}+2）（k{x_2}+2）$，
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
=$1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}-\frac{{32{k^2}+24-24}}{{3+4{k^2}}}+4$，
=$-3+\frac{25}{{3+4{k^2}}}$，（ii）
△=256k²-16（4k²+3）＞0，从而${k^2}＞\frac{1}{4}$，（iii）
（iii）代入（ii）中$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}≤-3+\frac{25}{3+1}=\frac{13}{4}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}∈（-∞，\frac{13}{4}]$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，圆锥曲线与函数的单调性与最值得关系，考查计算能力，属于中档题．