Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+3x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a=2，b=0时，求f（x）在[0，3]上的值域．
（Ⅱ）对任意的b，函数g（x）=|f（x）|-$\frac{2}{3}$的零点不超过4个，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=2，b=0时，求得f（x），求导，利用导数求得f（x）单调区间，根据函数的单调性即可求得[0，3]上的值域；
（Ⅱ）由f′（x）=x²-2ax+3，则△=4a²-12，根据△的取值范围，利用韦达定理及函数的单调性，即可求得a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=2，b=0时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x，求导，f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，3）上单调递减，
由f（0）=f（0）=0，f（1）=$\frac{4}{3}$，
∴f（x）在[0，3]上的值域为[0，$\frac{4}{3}$]；
（Ⅱ）由f′（x）=x²-2ax+3，则△=4a²-12，
①当△≤0，即a²≤3时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增，满足题意，
②当△＞0，即a²＞3时，方程f′（x）=0有两根，设两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，则x₁+x₂=2a，x₁x₂=3，
则f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，
在（x₁，x₂）上单调递减，
由题意可知丨f（x₁）-f（x₂）丨≤$\frac{4}{3}$，
∴丨$\frac{{x}_{1}^{3}-{x}_{2}^{3}}{3}$-a（x₁²-x₂²）+3（x₁-x₂）丨≤$\frac{4}{3}$，
化简得：$\frac{4}{3}$（a²-3）${\;}^{\frac{3}{2}}$≤$\frac{4}{3}$，解得：3＜a²≤4，
综合①②，可得a²≤4，
解得：-2≤a≤2．
a的取值范围[-2.2]．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及值域，考查分类讨论思想，属于中档题．