Question

3．已知函数f（x）=（x²+a）e^x（a是常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）与x轴相切．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设方程f（x）=x²+x的所有根之和为S，且S∈（n，n+1），求整数n的值；
（Ⅲ）若关于x的不等式mf（x）+2x+2＜2e^x在（-∞，0）内恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设曲线y=f（x）于x轴的切点为（x₀，0），则$\left\{\begin{array}{l}{f（{x}_{0}）=0}\\{f′（{x}_{0}）=0}\end{array}\right.$．解得a．
（Ⅱ）方程f（x）=x²+x可化为z=0或xe^x-x-1=0．而方程xe^x-x-1=0．的根就是函数g（x）=e^x-$\frac{1}{x}$-1的零点．求出g（x）=e^x-$\frac{1}{x}$-1的零点范围即可；
（Ⅲ）不等式mf（x）+2x+2＜2e^x可化为$\frac{m}{2}{x}^{2}+\frac{x+1}{{e}^{x}}-1＜0$，设h（x）=$\frac{m}{2}{x}^{2}+\frac{x+1}{{e}^{x}}-1$，只需h（x）＜0在（-∞，0）恒成立．分①当m≤1，②当m＞1讨论求出实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=（x²+2x+a）e^x，x∈R，
设曲线y=f（x）于x轴的切点为（x₀，0），则$\left\{\begin{array}{l}{f（{x}_{0}）=0}\\{f′（{x}_{0}）=0}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{0}}^{2}+2{x}_{0}+a=0}\\{{{x}_{0}}^{2}+a=0}\end{array}\right.$，解得a=0．
（Ⅱ）方程f（x）=x²+x可化为z=0或xe^x-x-1=0．
而方程xe^x-x-1=0．的根就是函数g（x）=e^x-$\frac{1}{x}$-1的零点．
∵$g′（x）={e}^{x}+\frac{1}{{x}^{2}}＞0$，∴g（x）在（0，+∞），（-∞，0）都递增．
∵$g（-\frac{3}{2}）={e}^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{3}＜0$，$g（-1）=\frac{1}{e}＞0$．∴函数g（x）在（-∞，0）内有唯一零点x₁，x₁∈（-$\frac{3}{2}$，-1）．
∵$g（\frac{1}{2}）=\sqrt{e}-3＜0，g（1）=e-2＞0$，∴函数g（x）在（0，+∞）内有唯一零点x₂，x₂∈（$\frac{1}{2}$，1）．．
∴方程f（x）=x²+x的所有根之和为S=0+x₁+x₂∈（-1，0）．
（Ⅲ）不等式mf（x）+2x+2＜2e^x可化为$\frac{m}{2}{x}^{2}+\frac{x+1}{{e}^{x}}-1＜0$，
设h（x）=$\frac{m}{2}{x}^{2}+\frac{x+1}{{e}^{x}}-1$，由题意得h（x）＜0在（-∞，0）恒成立．
$h′（x）=x（m-\frac{1}{{e}^{x}}）$，∵$\frac{1}{{e}^{x}}＞1在（-∞，0）$恒成立．
①当m≤1时，h′（x）＞0在（-∞，0）恒成立，∴h（x）在（-∞，0）为增函数，
又∵h（0）=0，∴当x＜0时，h（x）＜0，即h（x）＜0在（-∞，0）恒成立．
②当m＞1时，令h′（x）=0，得x=0或x=-lnm，在（-lnm，0）上h′（x）＜0恒成立，∴h（x）在（-lnm，0）为减函数，
又∵h（0）=0，∴当x∈（-lnm，0）时，h（x）＞0，不符合题意．
综上：实数m的取值范围（-∞，1]．

点评 本题考查了导数的综合应用，函数与方程思想，恒成立中的参数问题，属于难题．