Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{ax，x＜0}\end{array}\right.$若方程f（-x）=f（x）有五个不同的根，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-e）
• B． （-∞，-1）
• C． （1，+∞）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 求出f（-x）的解析式，根据x的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出f（-x）=f（x）在（0，+∞）上有两解，根据函数图象和导数的几何意义得出a的范围．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{ax，x＜0}\end{array}\right.$，∴f（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{-ax，x＞0}\\{1，x=0}\\{{e}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$．
显然x=0是方程f（-x）=f（x）的一个根，
当x＞0时，e^x=-ax，①
当x＜0时，e^-x=ax，②
显然，若x₀为方程①的解，则-x₀为方程②的解，
即方程①，②含有相同个数的解，
∵方程f（-x）=f（x）有五个不同的根，
∴方程①在（0，+∞）上有两解，
做出y=e^x（x＞0）和y=-ax（x＞0）的函数图象，如图所示：

设y=kx与y=e^x相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{0}}=k}\\{k{x}_{0}={e}^{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，解得x₀=1，k=e．
∵y=e^x与y=-ax在（0，+∞）上有两个交点，
∴-a＞e，即a＜-e．
故选A．

点评 本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．