Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数且f（1）=2，当x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0时，有

f(x1)+f(x2)

x1+x2

＞0，若f（x）≥m²-2am-5对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：由条件先判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式恒成立进行转化，构造函数g（a）即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，
∴当x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁+x₂≠0时，有

f(x1)+f(x2)

x1+x2

＞0等价为

f(x1)-f(-x2)

x1-(-x2)

＞0，
∴函数f（x）在[-1，1]上单调递增．
∵f（1）=2，
∴f（x）的最小值为f（-1）=-f（1）=-2．
要使f（x）≥m²-2am-5对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，
即-2≥m²-2am-5对所有a∈[-1，1]恒成立，
∴m²-2am-3≤0，
设g（a）=m²-2am-3，
则满足

g(-1)=m2+2m-3≤0 g(1)=m2-2m-3≤0

，
即

-3≤m≤1 -1≤m≤3

，
∴-1≤m≤1，
即实数m的取值范围是[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件判断函数的单调性是解决本题的关键，综合考查函数的性质．