Question

有如下命题：
①若0＜a＜1，?x＜0，则a^x＞1；
②若函数y=log_a（x-1）+1的图象过定点p（m，n），则log_mn=0；
③函数y=x^-1的单调递减区间为（-∞，0）∪（0，+∞）；
④?x∈R，tanx=2011．
其中真命题的个数为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,简易逻辑

分析：由指数函数的单调性判断①；
对数函数的图象恒过定点（1，0），再利用函数图象平移求得P的坐标，求出log_mn的值判断②；
利用函数的单调区间不能取并集说明③错误；
根据指数函数的值域为R，判断④正确．

解答： 解：对于①，∵函数y=a^x为减函数，∴?x＜0，则a^x＞a⁰=1．命题①正确；
对于②，∵函数y=log_a（x-1）+1的图象过定点P（2，1），∴m=2，n=1．
则log_mn=log₂1=0．命题②正确；
对于③，函数y=x^-1的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）．命题③错误；
对于④，∵y=tanx的值域为R，∴?x∈R，使tanx=2011．命题④正确．
∴其中真命题的个数为3．
故答案为：3．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了基本初等函数的图象与性质，是中档题．