Question

19．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=2cos²x-1的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为2．

Answer 1

分析 令h（x）=f（x）-g（x），可得|MN|=|h（x）|，结合二次函数的图象和性质，可得|MN|的最大值．

解答 解：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-（2cos²x-1）=2sin²x+sinx-1=2（sinx+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{9}{8}$，
则|MN|=|h（x）|，
当sinx=-$\frac{1}{4}$时，h（x）取最小值-$\frac{9}{8}$，
当sinx=1时，h（x）取最大值2，
故|h（x）|∈[0，2]，
即|MN|的最大值为2，
故答案为：2．

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，转化思想，二次函数的图象和性质，二倍角公式等知识点，难度中档．