Question

4．在${（{\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}}）^8}$的展开式中．
（1）求二项式系数最大的项；
（2）求系数的绝对值最大的项；
（3）求系数最小的项．

Answer 1

分析 （1）利用二项式系数的性质、二项展开式的通项公式，求得二项式系数最大的项．
（2）由条件列出不等式组，求得r的范围，可得结论．
（3）利用通项公公式求得系数最小的项．

解答 解：（1）在${（{\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}}）^8}$的展开式中，利用二项式系数的性质可得第五项的二项式系数最大，
该项为${T_5}=C_8^4{（{\sqrt{x}}）^4}•{（{-\frac{2}{x^2}}）^4}=\frac{1120}{x^6}$．
（2）设第r项的系数绝对值最大，即$\left\{\begin{array}{l}C_8^r•{2^r}≥C_8^{r-1}•{2^{r-1}}\\ C_8^r•{2^r}≥C_8^{r+1}•{2^{r+1}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{r}≥\frac{1}{9-r}\\ \frac{1}{8-r}≥\frac{2}{r+1}\end{array}\right.$，
从而5≤r≤6，故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.${T_6}=C_8^5{（{-2}）^5}{x^{-10}}{x^{\frac{3}{2}}}=-1792{x^{-\frac{17}{2}}}，{T_7}=C_8^6{（{-2}）^6}{x^{-12}}{x^{\frac{2}{2}}}=-1792{x^{-11}}$，
（3）系数最小的项为第6项：${T_6}=-1792{x^{-\frac{17}{2}}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．