Question

9．（1）已知不等式log_0.7（2x）＜log_0.7（x-1）的解集为A，B={x|$\frac{1}{4}$＜2^x＜8}，求A∩B；
（2）关于x的不等式（$\frac{1}{2}$）^m＞2^x+m的解集为C，若A∪C=R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．
（2）求出C={x|x＜-2m}，由A∪C=R，得-2m＞1，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵不等式log_0.7（2x）＜log_0.7（x-1）的解集为A，
∴A={x|$\left\{\begin{array}{l}{2x＞0}\\{x-1＞0}\\{2x＞x-1}\end{array}\right.$}={x|x＞1}，
∵B={x|$\frac{1}{4}$＜2^x＜8}={x|-2＜x＜3}，
∴A∩B={x|1＜x＜3}．
（2）∵关于x的不等式（$\frac{1}{2}$）^m＞2^x+m的解集为C，
∴C={x|-m＞x+m}={x|x＜-2m}，
∵A∪C=R，
∴-2m＞1，解得m＜-$\frac{1}{2}$，
∴实数m的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查交集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．