Question

1．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知$tan（A-\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅰ） 求A；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{7}$，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一：由A∈（0，π）可得$A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，利用$tan（A-\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，即可得出．
方法二：利用$tanA=tan[（A-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]=\frac{{tan（A-\frac{π}{6}）+tan\frac{π}{6}}}{{1-tan（A-\frac{π}{6}）tan\frac{π}{6}}}$，即可得出．
（Ⅱ）方法一：由余弦定理得 a²=b²+c²-2bccosA，可得c，即可得出三角形面积计算公式．
方法二：由正弦定理得$\frac{{\sqrt{7}}}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{2}{sinB}$，从而$sinB=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，可得cosB．可得sinC=sin（A+B），利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）方法一：∵A∈（0，π）∴$A-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$…（3分）
由$tan（A-\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$得$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，因此$A=\frac{π}{3}$…（6分）
方法二：$tanA=tan[（A-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]=\frac{{tan（A-\frac{π}{6}）+tan\frac{π}{6}}}{{1-tan（A-\frac{π}{6}）tan\frac{π}{6}}}$…（2分）=$\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}=\sqrt{3}$…（4分）
由于0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$…（6分）
（Ⅱ）方法一：由余弦定理得 a²=b²+c²-2bccosA…（8分）
而$a=\sqrt{7}，b=2$，$A=\frac{π}{3}$
得7=4+c²-2c，即c²-2c-3=0
因为c＞0，所以c=3…（10分）
故△ABC的面积$s=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…（12分）
方法二：由正弦定理得$\frac{{\sqrt{7}}}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{2}{sinB}$从而$sinB=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
又由a＞b，知A＞B，所以B为锐角，$cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$…（8分）
故$sinC=sin（A+B）=sin（\frac{π}{3}+B）=sin\frac{π}{3}cosB+cos\frac{π}{3}sinB=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$…（10分）
所以$s=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．