Question

20．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ；（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{2}{{\sqrt{5}}}t\\ y=1+\frac{1}{{\sqrt{5}}}t\end{array}\right.$（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可．
（2）参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义求解即可．

解答 解：（1）由曲线C的原极坐标方程可得ρ²sin²θ=4ρcosθ，
化成直角方程为y²=4x．…（4分）
（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得${（1+\frac{1}{{\sqrt{5}}}t）^2}=4（1+\frac{2}{{\sqrt{5}}}t）$，
整理得${t^2}-6\sqrt{5}t-15=0$，…（7分）
∵t₁•t₂=-15＜0，于是点P在AB之间，
∴$|{PA}|+|{PB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=4\sqrt{15}$．…（10分）

点评 本题考查极坐标方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义，考查计算能力．