Question

设函数f（x）=ax-e^x，a∈R，e为自然对数的底数．
（I）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意x∈R，a＞0，f（x）≤a²ka恒成立，求实数K的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导f′（x）=a-e^x，由导数判断函数的单调性及零点个数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）≤alna-a，故只需alna-a≤a²-ka，k≤a+1-lna．令g（a）=a+1-lna，求导求最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=a-e^x．
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；
当a＞0时，由f′（x）=0解得x=lna，
当x＞lna时，f′（x）＜0，当x＜lna时，f′（x）＞0．
故f（x）在x=lna处取得最大值f（lna）=alna-a，
∵f（x）存在两个零点，
∴f（lna）=alna-a＞0，
a＞e，
即a的取值范围是（e，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）≤alna-a，
故只需alna-a≤a²-ka，k≤a+1-lna．
令g（a）=a+1-lna，g′（a）=1-

1

a

，
当a＞1时，g′（a）＞0；当a＜1时，g′（a）＜0．
故g（a）在a=1处取得最小值2，
则k≤2，
即k的取值范围是（-∞，2]．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于中档题．