Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象如图所示．
（1）求A，ω及?的值；
（2）若cosα=

1

3

，求f(α+

π

8

)的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数的最大值，得A=2，由函数的周期得ω=2，再由f(

π

8

)=2得sin（

π

4

+φ）=1，结合0＜φ＜

π

2

得ω=

π

4

；
（2）结合（1）的结论，得到函数的表达式为f（x）=2sin（2x+

π

4

），从而f(α+

π

8

)=2cos2α，再用二倍角的余弦公式，可算出f(α+

π

8

)的值．

解答：解：（1）由图知函数的最大值为2，所以A=2，…（2分）
∵函数周期T=2（

5π

8

-

π

8

）=π，…（3分）
∴

2π

ω

=2，解之得，…（4分）
∴f（x）=2sin（2x+φ）  
又∵f(

π

8

)=2sin（

π

4

+φ）=2，∴sin（

π

4

+φ）=1，…（5分）
∴

π

4

+φ=

π

2

+2kπ，φ=

π

4

+2kπ，（k∈Z）
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

4

…（7分）
（2）由（1）知：f（x）=2sin（2x+

π

4

）       …（9分）
∴f(α+

π

8

)=2sin（2α+

π

2

）=2cos2α            …（10分）
∵cosα=

1

3

，
∴2cos2α=4cos²α-2=4×(

1

3

)2-2=-

14

9

…（14分）

点评：本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要求确定其解析式．着重考查了三角函数的图象与性质、三角函数的恒等变换及化简求值等知识，属于基础题．