Question

【题目】已知函数，．

（1）设两点，，且，若函数的图象分别在点、处的两条切线互相垂直，求的最小值；

（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）．

【解析】

（1）求得的导数即可得切线的斜率，再由两直线垂直的条件，结合基本不等式即可得所求最小值；

（2）设函数，求得导数，讨论的范围，判断单调性，可得极值和最小值，再由最小值不小于，解不等式可得所求范围.

（1）因为，

所以，故，

即，且，．

所以．

当且仅当，即且时，等号成立．

所以函数的图象分别在点处的两条切线互相垂直时，的最小值为1．

（2），．

设函数=（），

则．

由题设可知≥0，即．令=0得，，．

①若，则，∴，，，

，即在单调递减，在单调递增，

故在取最小值．

而，

∴当时，，即恒成立．

②若，则，∴当时，，

∴在单调递增，而，∴当时，，

即恒成立．

③若，则，

∴当时，不可能恒成立．

综上所述，的取值范围为．