【题目】如图,矩形中,
,
,
为
的中点,点
,
分别在线段
,
上运动(其中
不与
,
重合,
不与
,
重合),且
,沿
将
折起,得到三棱锥
,则三棱锥
体积的最大值为______;当三棱锥
体积最大时,其外接球的半径
______.
【答案】1
【解析】
易知当平面平面
时,三棱锥
体积最大,此时
平面
.DN为几何体的高,设
,则
,且
,再由V三棱锥D-MNQ
求解,当三棱锥
体积最大时,三棱锥
是正三棱柱的一部分,则三棱柱
的外接球即是三棱锥
的外接球,设点
,
分别是上下底面正三角形的中心,则线段
的中点即是三棱柱
的外接球的球心
求解.
当平面平面
时,三棱锥
体积最大,
这时平面
.
设,则
,且
,
则V三棱锥D-MNQ,
当时,三棱锥
体积最大,且
.此时
,
,
∴,
∴为等边三角形,
∴当三棱锥体积最大时,三棱锥
是正三棱柱的一部分,
如图所示:
则三棱柱的外接球即是三棱锥
的外接球,
设点,
分别是上下底面正三角形的中心,
∴线段的中点即是三棱柱
的外接球的球心
,
∴,
又∵是边长为2的等边三角形,
∴,
∴三棱柱的外接球的半径
.
故答案为:1;.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线
的极坐标方程为
,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线和曲线
的直角坐标方程;
(2)过动点且平行于
的直线交曲线
于
两点,若
,求动点
到直线
的最近距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求直线的普通方程及曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知点是曲线
上的任意一点,当点
到直线
的距离最大时,求经过点
且与直线
平行的直线
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某校冬季长跑活动中,学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品,要求花费总额不得超过元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为
元、
元,一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于
,且获得一等奖的人数不能少于
人,那么下列说法中错误的是( )
A.最多可以购买份一等奖奖品
B.最多可以购买份二等奖奖品
C.购买奖品至少要花费元
D.共有种不同的购买奖品方案
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为
,且成绩分布在
,分数在
以上(含
)的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取
人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过
的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.
女生 | 男生 | 总计 | |
获奖 | |||
不获奖 | |||
总计 | |||
附表及公式:
其中,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知点S为正方形ABCD所在平面外一点,△SBC是边长为2的等边三角形,点E为线段SB的中点.
(1)证明:SD//平面AEC;
(2)若侧面SBC⊥底面ABCD,求平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值.
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