Question

【题目】如图，已知点S为正方形ABCD所在平面外一点，△SBC是边长为2的等边三角形，点E为线段SB的中点．

（1）证明：SD//平面AEC；

（2）若侧面SBC⊥底面ABCD，求平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接BD交AC于F，连接EF，由已知结合三角形的中位线定理可得EF∥SD，再由直线与平面平行的判定可得SD∥平面AEC；

（2）取BC的中点O，连接OF并延长，可知OF⊥OC，利用线面垂直的判定定理与性质定理可得：OS⊥OF，OS⊥OC，建立空间直角坐标系，分别求出平面CDS与平面ACE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值．

（1）证明：连接BD交AC于F，连接EF，

∵ABCD为正方形，F为BD的中点，且E为BS的中点，

∴EF∥SD．

又SD平面AEC，EF平面AEC，

∴SD∥平面AEC；

（2）取BC的中点O，连接OF并延长，可知OF⊥OC，

在等边三角形SBC中，可得SO⊥BC，

∵侧面SBC⊥底面ABCD，且侧面SBC∩底面ABCD＝BC，

∴SO⊥平面ABCD，得OS⊥OF，OS⊥OC．

以O为坐标原点，分别以OF，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

得：A（2，﹣1，0），C（0，1，0），E（0，，），D（2，1，0），S（0，0，）．

，，，．

设平面CDS与平面ACE的一个法向量分别为，．

由，取z＝1，得；

由，取x1＝1，得．

∴cos．

∴平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值为．