【题目】已知函数.
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)求函数的单调区间;
(3)若且
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
【解析】
(1)代入,再根据导数的几何意义求解即可.
(2)易得,因为
,故分
与
两种情况分析导数的正负,从而得出单调区间即可.
(3)根据(2)中的单调性,分与
两种情况讨论
的单调性,并求出最值,再根据
的值域满足的关系结合题意求解即可.
(1)若,则
,故
,
,
,
∴所求切线方程为;
(2)函数的定义域为,
,
当时,
,函数
在
上单调递减,
当时,令
得
,令
得
,故函数
在
单调递减,在
单调递增;
(3)当时,函数
在
上单调递减,
又,而
,不合题意;
当时,由(2)可知,
,
(i)当,即
时,
,不合题意;
(ii)当,即
时,
,满足题意;
(iii)当,即
时,则
,
∵,函数
在
单调递增,
∴当时,
,
又∵函数的定义域为,
∴,满足题意.
综上,实数的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为
,且成绩分布在
,分数在
以上(含
)的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取
人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过
的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.
女生 | 男生 | 总计 | |
获奖 | |||
不获奖 | |||
总计 | |||
附表及公式:
其中,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“工资条里显红利,个税新政人民心”我国自1980年以来,力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.2019年1月1日实施的个税新政主要内容包括:(1)个税起征点为5000元;(2)每月应纳税所得额(含税)收人
个税起征点
专项附加扣除;(3)专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下:
旧个税税率表(个税起征点3500元) | 新个税税率表(个税起征点5000元) | |||
缴税基数 | 每月应纳税所得额(含税) | 税率(%) | 每月应纳税所得额(含税) | 税率(%) |
1 | 不超过1500元的部分 | 3 | 不超过3000元的部分 | 3 |
2 | 超过1500元至4500元的部分 | 10 | 超过3000元至12000元的部分 | 10 |
3 | 超过4500元至9000元的部分 | 20 | 超过12000元至25000元的部分 | 20 |
4 | 超过9000元至35000元的部分 | 25 | 超过25000元至35000元的部分 | 25 |
5 | 超过35000元至55000元的部分 | 30 | 超过35000元至55000元的部分 | 30 |
… | … | … | … | … |
随机抽取某市2020名同一收入层级的从业者的相关资料,经统计分析,预估他们2019年的人均月收入24000元,统计资料还表明,他们均符合住房专项扣除;同时,他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子,并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是
;此外,他们均不符合其他专项附加扣除,新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房1000元/月,子女教育每孩1000元/月,赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的
从业者都独自享受专项附加扣除,将预估的该市该收入层级的
从业者的人均月收入视为其个人月收入,根据样本估计总体的思想,解决如下问题:
(1)求在旧政策下该收入层级的从业者每月应纳的个税;
(2)设该市该收入层级的从业者2019年月缴个税为X元,求X的分布列和期望;
(3)根据新旧个税方案,估计从2019年1月开始,经过多少个月,该市该收入层级的从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收入?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知点S为正方形ABCD所在平面外一点,△SBC是边长为2的等边三角形,点E为线段SB的中点.
(1)证明:SD//平面AEC;
(2)若侧面SBC⊥底面ABCD,求平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设抛物线的焦点为
,直线
与抛物线交于
两点.
(1)若过点
,且
,求
的斜率;
(2)若,且
的斜率为
,当
时,求
在
轴上的截距的取值范围(用
表示),并证明
的平分线始终与
轴平行.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,点
为其左顶点,点
的坐标为
,过点
作直线
与椭圆交于
两点,当
垂直于
轴时,
.
(1)求该椭圆的方程;
(2)设直线,
分别交直线
于点
,
,线段
的中点为
,设直线
与
的斜率分别为
,
,且
,求证:
为定值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆C:.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线
相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过
轴上的定点?试证明你的结论.
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