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【题目】已知函数.

1)若,求曲线在点处的切线方程;

2)求函数的单调区间;

3)若,求实数的取值范围.

【答案】1;(2)见解析;(3

【解析】

(1)代入,再根据导数的几何意义求解即可.

(2)易得,因为,故分两种情况分析导数的正负,从而得出单调区间即可.

(3)根据(2)中的单调性,两种情况讨论的单调性,并求出最值,再根据的值域满足的关系结合题意求解即可.

1)若,则,故,,,

∴所求切线方程为

2)函数的定义域为,,

时,,函数上单调递减,

时,令,令,故函数单调递减,在单调递增;

3)当时,函数上单调递减,

,而,不合题意;

时,由(2)可知,,

i)当,即时,,不合题意;

ii)当,即时,,满足题意;

iii)当,即时,则,

,函数单调递增,

∴当时,,

又∵函数的定义域为,

,满足题意.

综上,实数的取值范围为.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.

(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.

女生

男生

总计

获奖

不获奖

总计

附表及公式:

其中,

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科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】工资条里显红利,个税新政人民心我国自1980年以来,力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段.201911日实施的个税新政主要内容包括:(1)个税起征点为5000元;(2)每月应纳税所得额(含税)收人个税起征点专项附加扣除;(3)专项附加扣除包括住房、子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及其对应的税率表如下:

旧个税税率表(个税起征点3500元)

新个税税率表(个税起征点5000元)

缴税基数

每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点

税率(%

每月应纳税所得额(含税)收入个税起征点专项附加扣除

税率(%

1

不超过1500元的部分

3

不超过3000元的部分

3

2

超过1500元至4500元的部分

10

超过3000元至12000元的部分

10

3

超过4500元至9000元的部分

20

超过12000元至25000元的部分

20

4

超过9000元至35000元的部分

25

超过25000元至35000元的部分

25

5

超过35000元至55000元的部分

30

超过35000元至55000元的部分

30

随机抽取某市2020名同一收入层级的从业者的相关资料,经统计分析,预估他们2019年的人均月收入24000元,统计资料还表明,他们均符合住房专项扣除;同时,他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子,并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是;此外,他们均不符合其他专项附加扣除,新个税政策下该市的专项附加扣除标准为:住房1000/月,子女教育每孩1000/月,赡养老人2000/月等.假设该市该收入层级的从业者都独自享受专项附加扣除,将预估的该市该收入层级的从业者的人均月收入视为其个人月收入,根据样本估计总体的思想,解决如下问题:

1)求在旧政策下该收入层级的从业者每月应纳的个税;

2)设该市该收入层级的从业者2019年月缴个税为X元,求X的分布列和期望;

3)根据新旧个税方案,估计从20191月开始,经过多少个月,该市该收入层级的从业者各月少缴纳的个税之和就超过2019年的人均月收入?

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【题目】如图,已知点S为正方形ABCD所在平面外一点,△SBC是边长为2的等边三角形,点E为线段SB的中点.

1)证明:SD//平面AEC

2)若侧面SBC⊥底面ABCD,求平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值.

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【题目】设抛物线的焦点为,直线与抛物线交于两点.

1)若过点,且,求的斜率;

2)若,且的斜率为,当时,求轴上的截距的取值范围(用表示),并证明的平分线始终与轴平行.

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【题目】已知椭圆的离心率为,点为其左顶点,点的坐标为,过点作直线与椭圆交于两点,当垂直于轴时,.

1)求该椭圆的方程;

2)设直线分别交直线于点,线段的中点为,设直线的斜率分别为,且,求证:为定值.

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【题目】已知函数

1)若恒成立,求实数的最大值;

2)设函数,求证:.

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【题目】已知椭圆C.

1)求椭圆C的离心率;

2)设分别为椭圆C的左右顶点,点P在椭圆C上,直线AP,BP分别与直线相交于点M,N.当点P运动时,以M,N为直径的圆是否经过轴上的定点?试证明你的结论.

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【题目】已知函数.

(1)若函数处的切线与直线平行,求实数的值;

(2)试讨论函数在区间上的最大值;

(3)若时,函数恰有两个零点,求证:.

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