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    【题目】已知函数，

    （1）若恒成立，求实数的最大值；

    （2）设函数，求证：.

    【答案】（1）（2）证明见解析

    【解析】

    （1）根据，对不等式进行参变分离，得到，

    令，即恒成立等价于，然后通过求导，得出即可；

    （2）由（1）知，，只需证.

    变形，令，故只需证即可，

    通过求导得到，

    注意到，还需要令进行二次求导，进而判断出的正负情况，然后，得到的单调性，进而得出，即可证明结论成立.

    解：（1）由题意，原不等式可化为，

    令，则，

    由得在上单调递增减；

    由得在上单调递增.

    所以，所以.

    （2）由（1）知，，只需证.

    令，则，

    令，，在上单调递增，

    注意到，所以当，，，在上单调递减；

    当，，，在上单调递增.

    所以，

    ∴，当且仅当时等号成立.

    而，当且仅当时等号成立.

    所以，从而.

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