Question

【题目】如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝3，AD＝4，AE＝5，．

（1）证明：DF∥平面BCE．

（2）求A到平面BEDF的距离，并求四棱锥A﹣BEDF的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）12

【解析】

（1）由DE⊥平面ABCD推出DE⊥AD，勾股定理求出DE，同理由BF⊥平面ABCD求出BF，利用线面垂直的性质推出DE∥BF，结合推出，即可证明线面平行；（2）等体积法列出，即可求得A到平面BEDF的距离，四棱锥A﹣BEDF的体积V，代入相应值求解即可.

（1）证明：∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，

∵AD＝4，AE＝5，∴DE3，

∵BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AB，

∵AB＝3，AF，可得BF3，

又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，∴DE∥BF，

又BF＝DE，∴四边形BEDF为平行四边形，故DF∥BE，

∵BE平面BCE，DF平面BCE，

∴DF∥平面BCE；

（2）设A到平面BEDF的距离为h，

由已知可得，△DAB是以∠DAB为直角的直角三角形，且AB＝3，AD＝4，

则BD＝5，又DE⊥平面ABCD，且DE＝3，

由VE﹣ADB＝VA﹣BDE，得，

得h，即A到平面BEDF的距离为；

四棱锥A﹣BEDF的体积V12．