Question

【题目】过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线交抛物线于AB两点，交其准线于点C，且|AF|=|FC|，|BC|=2.

（1）求抛物线C的方程；

（2）直线l交抛物线C于DE两点，且这两点位于x轴两侧，与x轴交于点M，若·求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）过点、作抛物线准线的垂线,垂足为、,设准线与轴交于点,由已知可得,可得,由抛物线的定义可得,进而利用中位线的性质可求得,即可求解；

（2）联立可得,由韦达定理可得,,代入中可得,则,由,再利用均值不等式求得最值即可.

（1）设过点、的抛物线准线的垂线,垂足为、,设准线与轴交于点,

因为,,

所以,

所以,

又点为的中点,

所以,

所以,

所以抛物线的方程为:

（2）设,,,

联立可得,

所以,,

所以,

所以或（舍去）,

所以,即,所以,

所以,

当且仅当,即时等号成立,

所以的最小值为.