Question

平行四边形ABCD中，∠CBA=120°，AD=4，对角线BD=2

3

，将其沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）

• A、

  20

  3

  5

  π
• B、

  160

  3

  5

  π
• C、32

  3

  π
• D、2π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离,球

分析：运用余弦定理，可得AB=2，由勾股定理的逆定理可得AB⊥BD，运用面面垂直的性质定理，可得AB⊥BC，
CD⊥AD，再由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得球心和半径，再由体积公式计算即可得到．

解答： 解：在△ABD中，BD=2

3

，AD=4，∠BAD=60°，
由余弦定理可得BD²=AD²+AB²-2AB•ADcos60°，
即为12=16+AB²-4AB，可得AB=2，
由AB²+BD²=AD²，可得AB⊥BD，
由平面ABD⊥平面BCD，则AB⊥平面BCD，
即有AB⊥BC，
由CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，
则CD⊥平面ABD，
即有CD⊥AD，
取AC的中点O，连接OB，OD，
则有OA=OB=OC=OD=

1

2

22+42

=

5

，
即有球的半径r=

5

．
则球的体积为V=

4

3

πr³=

4

3

π×（

5

）³=

20

3

5

π．
故选：A．

点评：本题考查面面垂直的性质定理及运用，同时考查勾股定理和直角三角形的性质，考查球的体积公式的运用，属于基础题．